수학 (18) 썸네일형 리스트형 [수치해석 09] 비구속 최적화 비구속 최적화(Unconstrained Optimization) 는 특정 독립변수가 가질 수 있는 범위가 제한되지 않은 상태에서 이루어지는 최적화 방식을 의미한다. 반대의 개념으로 구속 최적화(Constrained Optimization) 이 있다. 최적화(Optimization) 최적화는 함수의 최소값 및 최대값을 구하는 것이다. 특정 함수에서의 최적점은 곡선 위의 평탄한 점으로, 도함수 f'(x) = 0 이 되는 지점에 해당한다. 이때 2차 도함수 f''(x) 0 이면 최소값이 된다. 따라서, 최적화를 위해서는 미분 함수인 f'(x) = 0 의 근을 구해 최적점을 얻어야 한다. 1차원 및 다차원에서의 최적화 문제 1차원의 문제는 한 개의 독립변수에 의존하는 함수에.. [수치해석 08] 특수 행렬과 Gauss-Seidel법 특정 행렬들은 특수한 구조를 가지고 있는데, 이런 행렬들을 특수 행렬이라고 부른다. 띠행렬 주 대각선을 중심으로 한 띠(band)를 제외한 모든 요소가 0인 정사각형 행렬. 주 대각선의 원소 중 일부가 0인지 여부와는 관계 없이, 띠를 제외한 요소가 0이면 된다. 피벗화(행끼리 위치를 바꾸는 것)가 필요하지 않다면, 0인 요소에 대해서는 연산을 수행하지 않는 알고리즘이 가능. 대역폭(bandwidth, BW)과 반대역폭(half-bandwidth, HBW)는 다음과 같은 관계를 만족한다. BW = 2HBW + 1 삼중대각 시스템 띠의 폭이 3인 띠행렬로, Thomas 알고리즘에 의해 해를 구할 수 있다. Thomas 알고리즘 삼중대각 시스템의 해를 구하는 알고리즘으로, O(n)의 시간 복잡도를 지닌다. .. [수치해석 07] LU분해법과 역행렬 LU 분해법 하나의 행렬 A를 주대각성분이 1인 하삼각행렬 L, 상삼각행렬 U로 나누는 것 [A] = [L][U] 계수 [A]는 같고, 우변만 달라 여러 방정식의 해를 구해야 할때, 각 방정식의 해를 O(n^2)으로 구할 수 있다. [A]{X} = {B1} [A]{X} = {B2} ... 가우스 소거법을 이용한다. 해를 구하는 과정 1. LU 분해 단계 [A]를 [L][U]꼴로 분해한다. 행렬에 대해 가우스 소거법을 적용하여 상삼각행렬을 만들고, 이때 발생하는 계수들로 하삼각행렬을 구성한다 저장공간 활용을 위해 다음과 같이 저장할 수 있다. 알고리즘 2. 대입 단계 [L] 과 [U] 를 이용하여 벡터 {B} 에 대한해 {X}를 구한다. [A]{X} = {B} ⇒ [L][U]{X} = {B} : [A]를 .. [수치해석 06] 행렬식에서 근 구하기 Crammer 공식 연립 선형대수 방정식에서 각각의 미지수는 행렬식의 비로 표시될 수 있다. 행렬이 위와같이 주어질 때, 이고, 미지수 소거법 전진 소거, 후진 대입 (원래) Gauss 소거법 미지수의 전진소거, 상삼각행렬 형태로 변형 후진 대입 : 올라가면서 변수를 대입하여 값을 구한다. 피벗 . pivot 특정 계산을 수행하기 위한 알고리즘에 의해 먼저 선택된 행렬의 요소 피벗 원소 : 소거시키는 기준이 되는 원소 피벗 방정식 : 피벗 원소가 있는 방정식 피벗 행 : 피벗 원소가 속한 행 정규화(normalization) : 피벗 행의 원소를 피벗 원소로 나누는 과정. 피벗 원소의 계수가 1이 된다. 후진 대입 (back substitution) 아래에서 구한 원소를 통해 위의 원소를 구한다. (원래.. [수치해석 05] 선형 대수 방정식 선형 대수 방정식 일련의 일차식의 합의 형태를 띄는 방정식. 변수를 보통 인덱스를 이용하여 표기한다 ..... a : 상수 계수 b : 상수 x : 미지수 m : 방정식의 개수 n : 미지수의 개수 행렬 하나의 기호로 표시되는 사각형 배열의 요소들로 구성. A : 행렬 a_{ij} : 행렬의 원소 행(row) : 수평으로 놓인 원소들의 모임 열(column) : 수직으로 놓인 원소들의 모임 a_{ij} 에서 i, j는 각각 행, 열의 위치를 나타낸다. A 는 m개의 행과 n개의 열을 가지므로, 차원은 m x n 행벡터(row vector) 행 방향으로 전개되는 행렬 열벡터(column vector) 열 방향으로 전개되는 행렬 정방행렬(=정사각행렬, square matrix) 행의 개수와 열의 개수가 같은.. 온라인에서 수식 작성하기 - Online LaTeX Equation Editor https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php Online LaTeX Equation Editor - create, integrate and download Type your equation in this box www.codecogs.com 수식을 표현하는데 있어서 분수나 아랫첨자, 윗첨자 등을 표현하고 싶은 경우가 있다. 아쉽게도 단순 키보드로는 이런 것들을 표시하기 힘든데, 이 경우에 위의 사이트는 도움이 된다. 다양한 기호를 지원하며, 사용해본 결과 많은 수식을 문제없이 나타낼 수 있었다. 함수에 관한 수식은 LaTeX 형식으로 변환되는데, 이를 직접 이용하거나 (웹사이트 내에서 일부 코드 작성 필요) 아래 출력되는 이미지 파일을 다운로드 받아 사용할 수 있다. .. [수치해석 04] 개구간법(Open Methods) 구간법(Bracketing methods) 미리 설정된 구간 내에서 근을 구하는 방식으로, 반복적으로 구간법을 적용해 참값의 추정값을 구할 수 있다. 추정값이 참값에 접근하므로 수렴한다. 개구간법(Open methods) 한개 또는 두개의 초기값으로 계산을 시작한다. 계산이 진행됨에 따라 발산하여 근에서 멀어질 수도, 수렴하여 근에 가까워질 수도 있다. 수렴하는 경우, 구간법에 비해 빠르게 수렴한다. 고정점 반복법 g(X) = X 인 X(i) 를 함수 g 의 고정점이라고 한다. ex) g(x) = x^2 - 2 이면, g(2) = 2 이므로, (2, 2)는 고정점 g(X) = X 이므로, g(X) - X = 0 의 근이 고정점. 사용 방법 : f(x) = 0 을 x = g(x) 형태로 변형하여 계산 ex.. [수치해석 03] 방정식의 근 근 : f(x) = 0 이 되는 x 근을 구하는 방법 근의 공식 이용 : 2, 3, 4차 방정식 그래프적 방법: f(x) 그래프를 그려 x축과 만나는 점을 찾는다. (개략적, 정밀성 결여) 시행착오법: x의 값을 가정, f(x) = 0 이 되도록 반복하여 조정(실제 공학 응용에는 비효율) 수치 기법: 체계적 방법으로 근사적 근을 구함 구간법(bracketing method) 근을 포함하는 구간을 초기 가정값으로 시작하여, 체계적으로 구간의 폭을 줄여나간다. 연속된 함수는 구간의 약 끝점의 부호(sign)이 다르면 구간 내에 근이 있다. 함수의 근을 구하기 위해 그래프를 사용하는 방법 초기 가정 값을 제공한다. 함수의 특성과 수치기법들이 어떻게 해를 구하는지를 시각적으로 볼 수 있게 해준다. 그래프를 사용.. 이전 1 2 3 다음
