[수치해석 14] Newton-Cotes 적분 공식

독립 변수 x에 대한 함수 f(x)의 구간 x = a 부터 x = b 까지의 적분으로, a ~ b 범위에서 곡선 f(x)와 x 사이에 이루는 면적(단 부호가 존재)이 정적분 I 에 해당한다.

정적분은 적분을 수식에 의한 해석적 방법을 통해 구하는 과정이라 할 수 있다. 그러나 모든 상황에서 해당 방법이 가능한 것은 아니므로, 이산적인 점을 통해 측정 값만으로 적분을 구해야 하는 경우가 있고, 이때 수치적분이 사용된다.

즉 수치적분은 구체적 수식 대신에 이산적인 점과 측정값을 통해 적분을 수행하는 방식이다.

Newton-Cotes 적분공식

가장 많이 사용되는 수치적분 방식으로, 복잡한 함수 및 데이터를 다항식의 형태로 대체하는 방식으로, 원래 함수식이나 데이터를 여러 소구간으로 나누어, 해당 소구간 별로 다항식을 적용하여 근사값을 구한다.

폐구간법(closed form) : 적분 상·하한에서의 데이터 값이 알려진 경우

개구간법(opened form) : 적분구간이 주어진 데이터 값의 범위를 벗어나는 경우

1차 다항식으로 나타나는 폐구간에 대한 Newton-Cotes 적분공식.

우리가 흔하게 생각하는 사다리꼴 넓이 공식과 같다.

오차는 다음과 같다.

선형 함수이므로, 원래 식이 f''(x)을 구할 수 없는 1차 식이라면 오차가 발생하지 않는다.

ex)

a에서 b까지의 적분 구간을 다수의 소구간으로 나누고, 각각에 대해 사다리꼴 공식을 적용한다.

n + 1 개의 기초점 x 는 동일한 구간 h = (b-a)/n 을 폭으로 가진다.

첫번째 점과 마지막 점은 한번만 더하고, 나머지는 2번씩 더한다. 공식으로 써있으나, 지극히 당연하다.

오차는 다음과 같다.

데이터를 점들을 연결할 때 고차 다항식을 사용하는 공식이다.

우리는 3개의 점으로 2차 다항식을, 4개의 점으로 3차 다항식을 얻을 수 있다. 마찬가지로 구간 내에 총 3개의 점이 있는 경우 2차 다항식으로 해당 구간을 근사할 수 있고, 4개의 점이 있는 경우 3차 다항식으로 구간을 근사할 수 있다.

이런 방식으로 적분을 취해 얻는 공식을 Simpson 공식이라고 한다.

식에 1/3 이 나와서 이렇게 부르는 공식으로, 2차 다항식으로 구간을 보간한다. 3개의 점이 필요하다.

구간 h = (b-a)/2 이다

ex)

원 구간을 n 개의 등 간격 h = (b-a)/n 으로 나누고, 이에 대해 Simpson 1/3 공식을 적용한다.

구간 내 4개의 점이 동간격으로 존재할 때 사용하는 폐구간에 대한 적분 공식으로, 3차 다항식이 나온다.

기본적으로 Simpson 1/3 공식과 동일한 방식으로 유도하면,

구간의 개수가 홀수인 경우에 적용 가능하며, 1/3 공식에 비해 좀 더 정확한 결과가 나온다.

ex)

Simpson 공식 자체는 계산만 하면 무한히 생성할 수 있다. 이때 더 많은 점을 이용한 Simpson공식의 오차가 당연히 더 작다. 그러나 대부분의 문제는 3/8 공식 정도로도 충분히 작은 오차를 가지므로, 그 이상은 굳이 사용하지 않는다.

따라서 점이 여러개 나오는 경우 해당 구간을 2점, 3점, 4점으로 나누어 위에 제시한 사다리꼴 공식, 1/3 공식, 3/8 공식을 이용하여 계산한 후 이를 합하는 방식으로 적분을 구할 수 있다.