[수치해석 16] 수치미분

미분

독립변수 x와 종속변수 y 및 f(x) 가 존재할 때, 독립변수의 변화에 대한 종속변수의 변화를 고려하자.

차분 근사는 다음과 같다.

이때 Δx 가 0에 접근하게 되면, 차분은 도함수가 되고, 이는 x_i에서의 전선의 기울기에 대응된다.

테일러 급수는 다음과 같은 모습을 가진다.

테일러 급수를 이용한 도함수의 근사는 테일러 급수의 항을 변형하여 우리가 원하는 f⁽ⁿ⁾(x)을 구하는 것을 목표로 한다.

xi 에 대해 xi+1을 구하는 식을 이용하여 근사하는 방법. i 의 인덱스가 증가한다고 해서 전진 전개(forward expansion) 이라고 한다. 해당 결과로 나오는 차분이 전진 차분(forward difference) 이다.

xi 에 대해 xi-1 을 구하는 식을 이용하여 근사하는 방법. i 의 인덱스가 감소한다고 해서 후진 전개(backward expansion) 이라고 한다. 해당 결과로 나오는 차분이 후진 차분(backward difference) 이다.

전진 차분 및 후진 차분을 생성하면 오차에 해당하는 O(h) 가 발생한다. 위 식의 경우 1차 도함수를 제외한 항들의 차수는 2차 이상이 되지만, f'(x)을 구하는 과정에서 해당하는 항들도 h로 나눠주기 때문에 O(h) 가 된다.

전진전개 및 후진전개의 식을 연산하여 만드는 근사로, 원하는 도함수인 f'(x)을 남기기 위한 연산을 수행한다.

테일러 급수를 이용하여 고차 도함수에 대해 유한 차분 근사를 수행하는 경우 항상 알고 있는 항만을 남길 수 있는 구조로 여러가지 식을 연산 및 변형하여 이용하게 된다.

변형할 수 있는 방법 자체는 생각하기에 따라 매우 다양하다.

기존의 미분 공식의 정확도를 높이는 방식이다. 새로 구한 f''(x) , f'''(x) 등의 도함수들을 테일러 급수에 대입한다.

기존에 언급했던 도함수 추정값을 향상하는 방법으로 2개의 계산값을 이용하여 정확한 근사를 추측한다.

O(h²) 의 중심차분 근사에 대해 해당 공식을 이용하면 O(h⁴) 의 도함수 추정값을 계산 가능하다.

ex)

실험 결과 데이터는 종종 등 간격이 아닐 때가 있는데, 이 경우 Lagrange 보간 다항식 형태로 해당 데이터 점들을 나타낸 다음, 만들어진 보간 다항식을 미분하여 도함수를 추정한다.

위와 유사한 방법으로 나타내되, 각 변수에 대해 나눠 계산한다.