[수치해석 05] 선형 대수 방정식

선형 대수 방정식

일련의 일차식의 합의 형태를 띄는 방정식. 변수를 보통 인덱스를 이용하여 표기한다

 

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• a : 상수 계수
• b : 상수
• x : 미지수
• m : 방정식의 개수
• n : 미지수의 개수

 

행렬

하나의 기호로 표시되는 사각형 배열의 요소들로 구성. 

 

 

• A : 행렬
• a_{ij} : 행렬의 원소

행(row) : 수평으로 놓인 원소들의 모임

열(column) : 수직으로 놓인 원소들의 모임

 

a_{ij} 에서 i, j는 각각 행, 열의 위치를 나타낸다.

A 는 m개의 행과 n개의 열을 가지므로, 차원은 m x n

 

 

행벡터(row vector)

행 방향으로 전개되는 행렬

 

 

 

 

열벡터(column vector)

열 방향으로 전개되는 행렬

 

 

 

정방행렬(=정사각행렬, square matrix)

행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬

 

 

• 대칭행렬(symmetric matrix): 모든 i, j에 대해 a_{ij} = a_{ji}
• 대각행렬(diagonal matrix) 주대각선을 제외한 원소가 0인 행렬 
• 단위행렬(identity matrix) : 주대각선이 1인 대각행렬. 단위행렬은 행렬곱에 대한 항등원이다.
• 상삼각행렬(upper triangular matrix): 주대각선 아래에 위치한 모든 원소가 0인  정방행렬
• 하삼각행렬(lower triangular matrix): 주대각선 위에 위치한 모든 원소가 0인  정방행렬
• 띠행렬(banded matrix): 주대각선을 중심으로 한 띠를 제외한 모든 원소가 0인 정방행렬

 

대칭행렬

대각행렬

단위행렬

띠행렬

 

 

주대각선(main diagonal)

행렬에서 행과 열의 index가 같은 성분

 

 

행렬의 연산 법칙

 

• [A] = [B] iff a_{ij} = b_{ij} (모든 원소가 같으면 두 행렬은 같다)
• [C] = [A] + [B] iff c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} (연산 결과 모든 원소가 같으면 행렬은 같다)
• [C] = [A] - [B] iff c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}
• 교환 법칙 : [A] + [B] = [B] + [A]
• 결합 법칙 : ([A] + [B]) + [C] = [A] + ([B] + [C])
• 스칼라 곱 : [D] = g[A] iff d_{ij} = ga_{ij}
• 행렬의 곱 : [C] = [A][B] iff c_{ij} = sigma(k=1 ~ n) a_{ik}b_{kj}
• 곱의 결합법칙 : ([A][B])[C] = [A]([B][C])
• 분배법칙 :  [A]([B] + [C]) = [A][B] + [A][C]
• 행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않음.

 

행렬의 곱셈

행렬의 곱셈은 첫 행렬의 열의 개수와 두번째 행렬의 행의 개수가 같은 경우에만 곱셈이 정의된다.

 

 

 

역행렬(inverse)

원래 행렬과 곱했을 때 단위행렬을 생성하는 행렬

 

 

 

전치행렬(transpose)

행렬의 행과 열을 바꾼 행렬

열벡터의 전치는 행벡터이다

 

 

 

확장행렬(Augmentation)

두 행렬의 행에 동일한 연산을 수행할 때 사용하는 행렬.

 

 

 

행렬을 이용한 선형대수방정식의 표현

 

 

상수 계수, 미지수, 상수끼리 각각 행렬을 구성, 이들의 곱셈 형태로 나타낸다.

 

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그래프를 이용한 연립방정식 풀기

소규모의 연립방정식의 경우, 방정식을 그래프로 그리면, 교점이 해가 된다.

하나의 식 위의 모든 점은 해당 방정식을 만족하므로, 두 그래프의 조건을 동시에 만족하는 점을 찾는다.

 

 

특이 시스템(Singular System)과 불량조건(ill-conditioned System) 시스템 

특이 시스템

특이 값(singular value)가 너무 크거나, 무한으로 가는 경우.

해가 없거나 무한히 많은 경우

• 두 직선이 평행하는 경우, 해가 없으므로 특이시스템이다.
• 두 직선이 일치하는 경우, 해가 무한히 많으므로 특이 시스템이다.

 

불량조건 시스템

특이 시스템에 매우 가까운것. 해가 반올림 오차에 민감하여 구하기 힘들다.

 

 

행렬식(Determinant)

[A] 에 대한 행렬식은 |A|로 표기하고, 하나의 실수 값을 가진다.

행렬식은 정방행렬(정대각행렬)의 경우에 대해서만 구할 수 있다.

 

1 x 1

 

2 x 2

 

 

 

소행렬식 : |A|에서 i 행 j 열을 제외하고 만든 행렬식

 

 

여인수 : 소행렬식에 적당한 값을 붙인 것

 

 

 

3 x 3 : 3차 이상부터는 라플라스 여인수 전개를 이용하여 구한다.

 

행 또는 열은 마음대로 고를 수 있으며, 0이 많은 행 또는 열을 선택하는 것이 계산에 유리하다.

 

예시

 

 

특이 시스템은 행렬식이 0이다

특이 시스템에 가까운 경우(불량 조건), 행렬식이 0에 가깝다.